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感谢 bilibili UP主 Siosiotan 整理台罗拼音。

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一時失志毋免怨嘆
tsi̍t-sî sit-tsì m̄-bián uàn-thàn

毋免：不必、不用、不需要。

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一時落魄毋免膽寒
tsi̍t-sî lo̍k-phik m̄-bián tám-hân

哪通失去希望
ná thang sit-khì hi-bāng

每日醉茫茫
muí-ji̍t tsuì-bâng-bâng

無魂有體親像稻草人
bô hûn ū thé tshin-tshiūnn tiū-tsháu-lâng

親像：好像。

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人生可比是海上的波浪
jîn-sing khó-pí sī hái-siōng ê pho-lōng
可比：好比。

有時起有時落
ū sî khí, ū sî lo̍h

好運歹運
hó-ūn, pháinn-ūn

歹：<否？

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總嘛是愛照起工來行
tsóng mā sī ài tsiàu-khí-kang lâi kiânn

嘛：也
愛：要、必须。
照起工：按部就班，照規矩制度來行事。
行：走，行进。

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三分天註定
sann-hun thinn tsù-tiānn

七分靠拍拚
tshit-hun khò phah-piànn

愛拚才會贏
ài piànn tsiah ē iânn

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感谢 bilibili UP主 Siosiotan 整理台罗拼音。

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霓虹燈閃爍的夜景
nê-ông-ting siám-sih ê iā-kíng

据说陈一郎念的乃日語ネオン的音。Wiktionary 云：「台湾泉漳話 ne-óng，其经由日語 ネオン (neon)。」其他歌手有听到念 hông 者。
「閃爍」有作「閃熾」者。按：
Wiktionary 认为这是一对异形词，而「熾」为舒声，「爍」为入声。
故似作「閃爍」者是。

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照落水面陪海湧
tsiò lo̍h tsuí-bīn puê hái-íng

海湧：海浪。有写海泳者。

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港邊思念你 無心情
káng-pinn su-liām lí, bô-sim-tsîng

明明青燈 煞來看做是紅燈
bîng-bîng tshinn-ting, suah lâi khuànn-tsuè sī âng-ting

煞：竟然。

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毋通啦 毋通無情
m̄-thang--lah, m̄-thang bô-tsîng

你的心肝 毋通遐絕情
lí ê sim-kuann, m̄-thang hiah tsua̍t-tsîng

誤會造成不幸 白白來犧牲
gōo-huē tsō-sîng put-hīng, pe̍h-pe̍h lâi hi-sing

請你著原諒 佮你小參詳
tshiánn lí tio̍h guân-liōng, kah lí sió tsham-siông

著：一定。
小：稍微。

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珍惜五年的感情
tin-sioh gōo-nî ê kám-tsîng

啊~回心轉意
ah~ huê-sim-tsuán-ì

港邊的青紅燈
káng-pinn ê tshinn-âng-ting

若無你 我分袂清
nā bô lí, guá hun buē tshing

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我们证明，对于紧度量空间 $(X,d)$ 和连续变换 $T\colon X\to X$，
存在 $X$ （的Borel $sigma$-代数）上的 $T$-遍历概率测度.

我们首先引入 $M(X)$ 上 $X$ 上所有概率测度的集合，在 $M(X)$ 上
引入度量，使其成为度量空间. 然后取 $(X,T)={\mu\in M(X)\mid T_*\mu =\mu}$
为 $T$ 不变的测度集. 我们证明 $M(X,T)$ 非空. 再证明 $M(X,T)$ 凸，于是
其 external 点是遍历测度.

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Radon-Nykodim 定理

我们的提法是 $\mu,\nu$ 是有限非负测度，
$\nu\lle \mu$，则存在非负 $f\in L^1$ 使 $d\nv=fd\nu$.

非负可积函数在每个可测集上积分相等可以得到几乎处处相等.

绝对连续的两种提法不等价.

第六章 不变测度的存在性

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第四章 平均遍历定理

认为是逐点遍历定理的加强，在同样的条件下，改为 $f$ 平方可积，
这时 $L^2(\mu)\subset L^1(\mu)$（概率测度），收敛可以变成
$L^2$-收敛，并且 $f$ 的遍历极限甚至可以直接写出来

我们仍然假设非奇异.

定理. $\mu$ 为概率测度，$T$ 保持测度，$f\in L^2(\mu)$.

  1. $f^*\in L^2(\mu)$；
  2. $\overline{f}\to f$ 在 $L^2(\mu)$；
  3. $f^*=\Pi_T(f)$. 最后那个是投影.

Hurewicz 遍历定理. $T$ 保守，$T$ 可逆，则
$\mu(A)=0$ 当且仅当 $\mu(T^nA)=0, n\in\mathbb{Z}$.
考虑 $U_T$ 的 Radon-Nikodym 导数（意思是，$X$ 上可以有两种测度，$\mu$ 和 $\mu\circ T^n$.
它们彼此绝对连续，于是可考虑
$d \mu\circ T^n=\omega_n\,d\mu$. ），

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有限测度和保测通常是连用的.
比它们弱一点的性质是保守. 有限测度+保测一定保守，这是因为
$\mu(T^{-k}W)$ 彼此相等，在有限测度空间中，这保证一定有相交的.

逐点遍历定理

先写一个比较强的形式：
有限+保测，使得对于所有 $f\in L^1(X,\mu)$，
$\lim{n\to \infty} \frac1n\sum{i=0}^{n-1}
f(T^i(x))=f^(x)\in f^\in L^1(X,\mu)\text{ a.e.}$.
而且，$f^\circ T=f^$ a.e.,
$\int f\,d\mu=\int f^\,d\mu$.
如果 $T$ 遍历，$f^*=\int f\mu$, a.e.

首先，我们发现只要归化到非负. 这是因为几乎处处收敛可以相加求有限和.

然后，我们证明 $\int \overline{f}
\le \int f\le\int\underline{f}$. 首先，假设 $0\le f\le 1$.

最后，由 Levi 收敛. 取 $f_n\nearrow f$，我们证明
$\overline{f_n}\nearrow \overline{f}$. 单调显然.
如果 $\overline{f}(x)=\infty$，则存在无穷多个 $k$ 使 $(S_k f)(x)>M+1$.

$A_n={x:\exists k\le n,(S_k f)(x)(1+\varepsilon)\ge \overline{f}(x)}$. $A_1\subset A_2\cdots$. $\lim A_n=X$.

假设 $A_n=X$.

$(S_M f)(x)\ge \frac{M-n}{M}\frac1{1+\varepsilon}
\overline{f}(x)$. 积分而得.

我们取上下极限. 然后，我们证明不等式

Levi: $f_n\to f$ 单调，性质对每个 $f_n$ 成立，则
$f$ 成立.

（$T$ 遍历相当于说 $T$ 在测度空间下不可约，
即测度空间不能分解. 来源于随机过程的术语.）

遍历的等价刻画.
遍历等价于对于所有 $A,B$，

$$
\lim{n\to\infty}\frac1n\sum{i=0}^{n-1}
\mu((T^{-i}A)\cap B)=\mu(A)\mu(B)

$$. （由于不齐次，应该需要概率空间）
一方面容易. 因为如果 $\mu(A\triangle T^{-1}A)=0$，
则 $\mu(A)^2=\mu(A)$.
另一方面，

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概念回顾

  • 非奇异映射. $\mu(T^{-1}(A))=0$ iff $\mu(A)=0$.
  • 保持测度的. $\mu(T^{-1}(A))=\mu(A)$. 保测一定非奇异.
  • 徘徊集. $A\in\mathcal{F}$，$\forall 0\le n< m$, $\mu(T^{-n}A\cap T^{-m}A)=0$.
  • 保守映射. $A$ 徘徊则 $\mu(A)=0$.
  • 遍历的. $\mu(A\triangle T^{-1}A)=0$ 则 $\mu(A)=0$ 或 $\mu(A^c)=0$.

回复定理

Poincaré 回复定理. 在概率空间中，$T$ 保持测度，
$\mu(B)>0$，则 $B$ 中几乎处处的点是回复的，即

推论. 几乎处处的点回复无穷多次，即

证明. 想证明的是

这等价于对于任意 $k$，

为此我们观察 $Cn=\bigcup{k\ge n} T^{-k}B$. 它是下降列，所以对于 $\varepsilon>0$，$\mu(Cn\setminus C{n+1})<\varepsilon$.
我们将集合的分解 $Cn=C{n+1}\cup D$ 交 $T^{-n}B$，则可证明.

对于推论，我们把待证的集写为

$t$-回复点指：正向至少 $t$ 次回到 $B$ 中的点.

我们对 $t$ 归纳，证明 $B$ 中几乎是 $t$-回复点，$t=1,\ldots$ $t=1$ 是已证明的.

记

我们有 $T^{-k}An=A{n+k}, T^{-k}Cn=C{n+k}$.
仍用下降列的方法，得到 $n$，$An$ 和 $A_n\cap C{n+1}$ 的测度只差 $\varepsilon>0$.
由归纳假设 $A0\sim B$，从而 $A_n\sim T^{-n}B$，
从而 $T^{-n}B\cap C{n+1}$ 也约等于 $B$. 取极限得其交也的 $B$ 等测证毕.

把 Poincaré 回复定理中的有限+保测换成保守，是 Halmos 回复定理的特例.

Halmos 回复定理. 对于测度空间的可测集 $A$，下面性质等价：

  1. 对于所有徘徊集 $W$，$\mu(A\cap W)=0$；
  2. 对于所有可测子集 $B\subset A$，

一点观察：确实能推出 Poincaré 回复定理. 性质 1 是可以继承的. 2 推出 1 比较容易. 因为取 $B=A\cap W$ 为正测，则 $B$
也徘徊. 对于所有 $n<m, \mu(T^{-n}B\cap T^{-m}B)=0$. 所以 $\mu(B\cap \cup T^{-m}(B))=0$.

现在从 1 推出 2. 我们先证明 $A$ 几乎处处回复一次. 这最后和下面的遍历性证明一样，归结于交是空. 然后归纳到无穷多次.

遍历性

定理. 保守+遍历⇒对正测 $A$ 总有 $\mu(X\setminus \bigcup_{n\ge 0} T^{-n}A)=0$. （只要求概率空间，假设 $\sigma$-有限，并且我们假设了非奇异）

可能类似于 01 律的证明.

证明. 我们观察什么叫遍历性，故希望证明
$\mu((\cup{n\ge 0} T^{-n}A)^c)=0$. 因为 $\mu(A)>0$，
所以我们希望证明对称差零测，而对称差为 $\mu(A\setminus
\cup{n\ge 1} T^{-n}A)$. 为证它零测，我们再回忆什么叫保守性，我们希望证明 $A\setminus
\cup_{n\ge 1} T^{-n}A=B$ 是徘徊的，这是显然的，其实
$B\cap T^{-m} B=\varnothing$. （我们用了非奇异）

遍历性的等价定义. 即上述命题等价于遍历，也等价于
$\mu(A)\mu(B)>0$ 推出存在 $n$ 使 $\mu(T^{-n}A\cap B)=0$.

一个是显然的，我们从 $\mu(X\setminus \bigcup{n\ge 0} T^{-n}A)=0$ 有 $\mu(B\setminus \bigcup{n\ge 0} T^{-n}A)=0$.
因为 $\mu(B)>0$，

另一个方向，我们设 $A$ 破坏遍历性，$\mu(A\triangle T^{-1}A)=0$，而 $\mu(A)\mu(A^c)>0$. 但是从 $\mu(A\triangle T^{-1}A)=0$ 可推出 $\mu(T^{-k}A\triangle T^{-k-1}A)=0$，从而
$\mu(T^{-n}A\triangle A)=0$. 这矛盾于我们取 $B=A^c$ 时的结论.

定理 2.2.2. 测度空间上遍历性可以等价于，
任何复可测 $f$，$f\circ T=f$ a.e.，则 $f$ 是常数 a.e.，对于概率空间，还可要求 $f$ 只在 $L^2$ 中取.

证明. 一个方向设 $A$ 破坏遍历性，则取 $A$ 的示性函数. 另一方面，我们发现几乎处处是常数等价于对于任意 $c$，$A_c={f\ge c}$ 和其补必有一者是零测的. 要证明几乎处处是常数，只要证明 $\mu(A_c\triangle T^{-1}A_c)=0$，但是这个直接从
$\mu(f\ne U_Tf)=0$ 得到. 对于概率空间，所有示性函数都是 $L^2$ 的，则证.

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基本概念

我们的思路是：先从半代数过渡到代数，再由代数过渡到单调类，最后用单调类定理.

Poincaré 回复定理

Poincaré 回复定理. 在概率空间中，$T$ 保持测度，
$\mu(B)>0$，则 $B$ 中几乎处处的点是回复的，即

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计算有限域上多项式的阶

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R.<x> = PolynomialRing(GF(2),'x')
S.<y> = QuotientRing(R, R.ideal((x^2+x+1)^5*(x^3+x+1)))
y^168

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2019 年 12 月 16 日

嚥，swallow。不过英语里表示吞嚥的swallow和表示燕子的swallow不一定有同源关系。

2020 年 1 月 17 日

extrapolate [< extra- + (inter)polate]，这不就是“从extra，从interpolate省”？

2021 年 2 月 10 日

《醒世恒言》三十八卷：“一径的把麻绳𫐆（轣）𫐆轹轹放将下去。”
若用普通话念，就成了lìlìlìlì放下去。

2021 年 10 月 2 日

读《孟子》，有「然而无有乎尔，则亦无有乎尔」，也是听君一席话。

2022 年 7 月 29 日

粤语“永”“咏”不同音：咏中古为去声。于是双关“经典咏流传”在中古汉语中不能成立。

2022 年 8 月 15 日

Fun fact: $\sin \theta=\Theta(\theta)$, but $\cos \omega=\omega(\omega)$. (wjh, 2022/8/3，追记)

2022 年 4 月 19 日

https://mathoverflow.net/questions/70241/terminology-question-transverse-v-transversal
From Whitehead, “‘Transversal’ is a noun. The adjective is ‘transverse’”. No doubt this also had an impact on others who (like me) tend to be fussy about language.

“Reversal” is another noun with an “al” ending.

愚按：rehearsal也是。

2022 年 9 月 23 日

Magister: 如 algebro-geometric，是仿希腊的方法造的合成词，即
第一个词词干 + o + 第二个词.