遍历论讨论班 第四次

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第四章 平均遍历定理

认为是逐点遍历定理的加强，在同样的条件下，改为 $f$ 平方可积，
这时 $L^2(\mu)\subset L^1(\mu)$（概率测度），收敛可以变成
$L^2$-收敛，并且 $f$ 的遍历极限甚至可以直接写出来

我们仍然假设非奇异.

定理. $\mu$ 为概率测度，$T$ 保持测度，$f\in L^2(\mu)$.

  1. $f^*\in L^2(\mu)$；
  2. $\overline{f}\to f$ 在 $L^2(\mu)$；
  3. $f^*=\Pi_T(f)$. 最后那个是投影.

Hurewicz 遍历定理. $T$ 保守，$T$ 可逆，则
$\mu(A)=0$ 当且仅当 $\mu(T^nA)=0, n\in\mathbb{Z}$.
考虑 $U_T$ 的 Radon-Nikodym 导数（意思是，$X$ 上可以有两种测度，$\mu$ 和 $\mu\circ T^n$.
它们彼此绝对连续，于是可考虑
$d \mu\circ T^n=\omega_n\,d\mu$. ），