有限测度和保测通常是连用的.
比它们弱一点的性质是保守. 有限测度+保测一定保守，这是因为
$\mu(T^{-k}W)$ 彼此相等，在有限测度空间中，这保证一定有相交的.
逐点遍历定理
先写一个比较强的形式：
有限+保测，使得对于所有 $f\in L^1(X,\mu)$，
$\lim{n\to \infty} \frac1n\sum{i=0}^{n-1}
f(T^i(x))=f^(x)\in f^\in L^1(X,\mu)\text{ a.e.}$.
而且，$f^\circ T=f^$ a.e.,
$\int f\,d\mu=\int f^\,d\mu$.
如果 $T$ 遍历，$f^*=\int f\mu$, a.e.
首先，我们发现只要归化到非负. 这是因为几乎处处收敛可以相加求有限和.
然后，我们证明 $\int \overline{f}
\le \int f\le\int\underline{f}$. 首先，假设 $0\le f\le 1$.
最后，由 Levi 收敛. 取 $f_n\nearrow f$，我们证明
$\overline{f_n}\nearrow \overline{f}$. 单调显然.
如果 $\overline{f}(x)=\infty$，则存在无穷多个 $k$ 使 $(S_k f)(x)>M+1$.
$A_n={x:\exists k\le n,(S_k f)(x)(1+\varepsilon)\ge \overline{f}(x)}$. $A_1\subset A_2\cdots$. $\lim A_n=X$.
假设 $A_n=X$.
$(S_M f)(x)\ge \frac{M-n}{M}\frac1{1+\varepsilon}
\overline{f}(x)$. 积分而得.
我们取上下极限. 然后，我们证明不等式
Levi: $f_n\to f$ 单调，性质对每个 $f_n$ 成立，则
$f$ 成立.
（$T$ 遍历相当于说 $T$ 在测度空间下不可约，
即测度空间不能分解. 来源于随机过程的术语.）
遍历的等价刻画.
遍历等价于对于所有 $A,B$，
$$
\lim{n\to\infty}\frac1n\sum{i=0}^{n-1}
\mu((T^{-i}A)\cap B)=\mu(A)\mu(B)
$$. （由于不齐次，应该需要概率空间）
一方面容易. 因为如果 $\mu(A\triangle T^{-1}A)=0$，
则 $\mu(A)^2=\mu(A)$.
另一方面，